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河北省武邑中学2019届高三数学下学期第一次质检试题文201903140143

发布时间:

河北武邑中学 2018-2019 学年高三下学期第一次质量检测

数学(文)试题

全卷满分 150 分,考试用时 120 分钟。

注意事项:

1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写 在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码

粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

第 I 卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.已知复数 满足

,则 (



A.

B.

C.

D. 2. 复数 z 满足 z(1-i)=|1+i|,则复数 z 的虚部是

A.1

B.-1

2
C.
2

D. ? 2 2

3. “a=-2”是“直线 l1:ax-y+3=0 与 l2:2x-(a+1)y+4=0 互相*行”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.若从集合

中随机取一个数 ,从集合

中随机取一个数 ,则直线

一定经过第四象限的概率为( )

A. B. C. D.

5.已知函数

,则( )

A. 在 单调递减

B. 的图象关于 对称

C. 在 上的最大值为 3 D. 的图象的一条对称轴为

-1-

6. 设
A. a ? b ? c





B. b ? c ? a

,则 a, b, c 的大小关系为

C. c ? a ? b

D. b ? a ? c

7. 已知实数 x, y 满足约束条件



且 的最小值为 ,则 的值为

A.

B.

C.

D.

8. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是

A.

B.

C.

D.

9.下面几个命题中,假命题是( )
A. “若 a ? b ,则 2a ? 2b ?1”的否命题
B. “ ?a ? ?0, ??? ,函数 y ? ax 在定义域内单调递增”的否定

C. “? 是函数 y ? sinx 的一个周期”或“ 2? 是函数 y ? sin2x 的一个周期”

D. “ x2 ? y2 ? 0 ”是“ xy ? 0 ”的必要条件

10.若

,则

等于(



A.

B.

D.

C. 2
-2-

11.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( )

A. 20?

B.16?

C. 12 2?

D. 8 2?

12.已知直线 y

?

2b

与双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1?a ? 0,b ? 0? 的斜率为正的渐*线交于点 A ,曲

线的左、右焦点分别为 F1、F2 ,若 tan ?AF2 F1 ? 15 ,则双曲线的离心率为( )

A. 4 或 16 11

B. 16 11

C. 2

D. 4

第 II 卷(非选择题 90 分)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.已知函数

,若 在区间 内没有极值点,则 的取值范围

是__________________.

S
14.面积为 S 的三角形 ABC 中,在边 AB 上有一点 P ,使三角形 PBC 的面积大于 的概率为
4

__________.

? ? ? ? 15.正项数列 an 满足 a1 ? 1, a2 ? 2 ,又

1

an an?1

是以 为公比的等比数列,则使得不等式
2

1 ? 1 ? ... ? 1 ? 2019 成立的最小整数 n 为__________.

a1 a2

a2n?1

16.已知抛物线

的焦点为 , 为坐标原点,点



,射线 ,

分别交抛物线 于异于点 的点 , ,若 , , 三点共线,则 __________.

三、解答题(共 6 小题 ,共 70 分 ) 17. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足 2acos
C+bcos C+ccos B=0. (1)求角 C 的大小; 3
(2)若 a=2,△ABC 的面积为 ,求 c 的大小. 2
18. (本小题满分 12 分)已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,且 S2 ? 8 , a3 ? a8 ? 2a5 ? 2 .

(1)求 an ;

(2)设数列 1 的前 {} Sn

n

项和为 Tn

,求证: Tn

?

? 4



19. (本小题满分 12 分)某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各 50 名,其中

-3-

每天玩微信超过 6 小时的用户列 为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结果如下: 微信控 非微信控 合计

男性

26

24

50

女性

30

20

50

合计

56

44

100

(1)根据以上数据,能否有 95%的把握认为“微信控”与“性别”有关?

(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人,求所抽取的 5 人中“微信控”和“非

微信控” 的人数;

(3)从(2)中抽取的 5 位女性 中,再随机抽取 3 人赠送礼品,试求抽取 3 人中恰有 2 人为“微

信控”的概率.

参考数据:

? ? P K 2 ? k

0.10

0.050

0.025

0.010

0.001

k

2.706

3.841

5.024

参考公式:

K

2

?

?a

?

n ?ad ? bc?2 b??c ? d??a ? c??b

?

d

?



其中 n ? a ? b ? c ? d .

6.635

10.828

20.

(本小题满分

12 分)设椭圆 C:ay22

?

x2 b2

? 1? a

?b

?

0? ,定义椭圆

C 的“相关圆”方程为

x2 ? y2 ? a2b2 .若抛物线 x2 ? 4 y 的焦点与椭圆 C 的一个焦点重合,且椭圆 C 短轴的一个 a2 ? b2
端点和其两个焦点构成直角三角形. (1)求椭圆 C 的方程和“相关圆”E 的方程;
(2)过“相关圆”E 上任意一点 P 的直线 l: y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 A,B 两点.O 为坐标原

点,若 OA ? OB ,证明原点 O 到直线 AB 的距离是定值,并求 m 的取值范围。

-4-

21. (本小题满分 12 分)已知函数



(Ⅰ)若 ,且 是函数的一个极值,求函数 的最小值;

(Ⅱ)若 ,求证:



.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f(x)=|x+2|﹣2|x﹣1|

(Ⅰ)解不等式 f(x)≥﹣2;

(Ⅱ)对任意 x∈[a,+∞),都有 f(x)≤x﹣a 成立,求实数 a 的取值范围.

参考答案

1. C 2. C 3.A 4. D 5. B 6. A 7. D 8. D 9. D 10. B 11. A 12. D

13.

14. 3

15. 6 16.

4

17.【解析】(1)在△ABC 中,因为 2acos C+bcos C+ccos B=0,

所以由正弦定理可得:2sin Acos C+sin Bcos C+sin Ccos B=0,

-5-

1 所以 2sin Acos C+sin(B+C)=0,又△ABC 中,sin(B+C)=sin A≠0,所以 cos C=- .
2

2π 因为 0<C<π,所以 C= .
3

1

3



(2)由 S= absin C= ,a=2,C= ,得 b=1.

2

2

3

1
( ) 由余弦定理得 c2=4+1-2×2×1× - =7,所以 c= 7. 2

18.

解:(1)设公差为

d,由题

??2a1 ?2a1

? ?

d ? 8, 9d ? 2a1

?

8d

?

解得 2,

a1

?

3,

d

?

2



所以 an ? 2n ? 1 .

(2)

由(1), an

? 2n ? 1 ,则有 Sn

? n (3 ? 2n ? 1) ? n2 ? 2n . 2

则 1 ? 1 ? 1 (1 ? 1 ). Sn n(n ? 2) 2 n n ? 2

所以 Tn

?

1

[(1

?

1)

?

? (

2 32

?

1)

?

? (

?

43

1) ??? ( 1 ?

5

n ?1

1 ) ? (1 n?1 n

?

1 )] n?2

? 1 (1 ? ? ? 1 ? 1 ) ? 3 . 2 2 n?1 n? 2 4

19. 解(1)由列联表可得:

K2

?

n ?ad ? bc?2 ?a ?b??c ? d??a ? c??b ? d?

100? ?26? 20 ? 30? 24?2
? 50? 50? 56? 44

?

50 77

?

0.649 ? 3.841 ,··

··3 分
所以没有 95% 的把握认为“微信控”与“性别”有关.···········4 分 (2)根据题意所抽取的 5 位女性中,“微信控”有 3 人,“非微信控”有 2 人····6 分. (3)抽取的 5 位女性中,“微信控” 3 人分别记为 A , B , C ;“非微信控” 2 人分别记为
D,E.
则再从中随机抽取 3 人构成的所有基本事件为: ABC , ABD , ABE , ACD , ACE , ADE , BCD , BCE , BDE , CDE ,共有10 种;···········9 分 抽取 3 人中恰有 2 人为“微信控”所含基本事件为: ABD , ABE , ACD , ACE , BCD , BCE ,共有 6 种,···········11 分

所求为
P?

6

? 3 .···········12 分

10 5

-6-

20.解:(1)因为若抛物线

的焦点为 与椭圆 的一个焦点重合,所以 ,

又因为椭圆 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形,所以



故椭圆 的方程为 (2)设

,“相关圆” 的方程为 ,

………4 分

联立方程组





, ,
……………………6 分





由条件



, ………………………………8 分

所以原点 到直线 的距离 是







为定值



,即



……10 分 即



,即

,所以

,即





……………………………12 分

-7-

21.分析:(I)由函数的解析式可得

.结合

利用导函数研究函数的单调性可得 在

函数 的最小值为



上单调递减, 在

(II )若 ,则





由在

上单调递增,分类讨论:

①当 在

上单调递增时,



②当 在

上单调递减时,



③当 在

上先减后增时,





综上①②③得: 详解:(I)





,定义域为





由题意知

,即

,解得 ,

所以





,可得 , 上单调递增,








( )在

上单调递增,

可知 在

上单调递增,又

所以当

时,

;当

得在

上单调递减, 在

所以函数 的最小值为



时,



上单调递增,



(II )若 ,得



由在

上单调递增,可知 在

上的单调性有如下三种情形:

①当 在

上单调递增时,

可知

,即

,即

,解得 ,

,令

,则



所以 单调递增,

,所以



②当 在

上单调递减时,

可知

,即

,即

,解得





,所以



-8-

[或:令

,则



所以 单调递减,

,所以

③当 在

上先减后增时,得 在

上先负后正,

所以



,即

,取对数得

;] ,

可知



所以



综上①②③得:





22. 解:(Ⅰ)f(x)=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2,

当 x≤﹣2 时,x﹣4≥﹣2,即 x≥2,∴x∈?;

当﹣2<x<1 时,3x≥﹣2,即 x≥﹣ ,∴ ﹣≤x≤1;

当 x≥1 时,﹣x+4≥﹣2,即 x≤6,∴1≤x≤6; 综上,不等式 f(x)≥﹣2 的解集为:{x|﹣ ≤x≤6}

…(5 分)

(Ⅱ)



函数 f(x)的图象如图所示:

令 y=x﹣a,﹣a 表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时,﹣a=2; ∴当﹣a≥2,即 a≤﹣2 时成立;…(8 分) 当﹣a<2,即 a>﹣2 时,令﹣x+4=x﹣a,得 x=2+ , ∴a≥2+ ,即 a≥4 时成立,
-9-

综上 a≤﹣2 或 a≥4.…(10 分)
- 10 -




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