当前位置: 首页 > >

陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第四章 数系的扩充 数系扩充性质裁减拓展资料素材 北师大版选修1-2

发布时间:

数系扩充

性质裁减

随着数系的扩充, 我们的学*进入了一个全新的领域, 原来在实数中一些非常“风光” 的性质或结论不再成立,不但性质没有扩充,反而“裁减”.如果解题时不注意对比分析, 往往会出现错误. 一、性质|x|=±x,对虚数 x 不再成立 例 1 在复数范围内,方程 x2 ? 5 x ? 6 ? 0 的解的个数为( (A) 2
2

) .

(B) 4

(C) 6

(D) 8

错解:由 x ? 5 x ? 6 ? 0 ,得 ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 , 那么, x ? 2 或 x ? 3 ,从而 x ? ?2 或 x ? ?3 ,选(B) .
2 剖析:在实数中我们经常用到 x ? x ,有时因为这种代换而产生巧解,但在复数中 2

它是不成立的.还有及|a|=±a 及 a +b =0 ? a=0,b=0,这此结论在虚数中也是不成
2 2

立的. 正解:设 x ? a ? b i(a,b ? R) ,那么原方程即为 (a ? b i)2 ? 5 a 2 ? b2 ? 6 ? 0 ,得

? ?a 2 ? b 2 ? 5 a 2 ? b 2 ? 6 ? 0, ? ? ?2ab ? 0,
故?

?a ? ?2, ?a ? ?3, ?a ? 0, 或? 或? ?b ? 0 ?b ? 0 ?b ? ?1.

所以正确答案为(C) . 二、性质 a
mn

? (am )n (m、n∈Q),对虚数 a 不再适用
2009

? 1 3 ? 例 2 求值 ? ? ? ? 2 2 i? ? ? ?


3

? 1 3 ? 错解:∵ ? ? ? ? 2 2 i? ? ?1, ? ?
则??

? 1 3 ? ? ? 2 2 i? ? ? ?

2009

3 ?? 1 3 ? ? ? ? ?? ? ? i? ? ? 2 2 ?? ? ? ??
*

2009 3

=1.

剖析:在复数集中,仅对 m,n ? N 有 a

mn

? (am )n .此错解盲目的将实数集中的指数

运算的法则直接推广到了复数集.

? 1 3 ? 正解: ? ? ? ? 2 2 i? ? ? ?

2009

? 1 3 ? ?? ? ? ? 2 2 i? ? ? ?

3?669

? 1 3 ? ?? ? ? ? 2 2 i? ? ? ?

2

3 ?? 1 3 ? ? i? ? = ?? ? ? 2 2 ? ?? ? ? ? ? ?

669

? 1 3 ? ?? ?? 2 ? 2 i? ? ? ?

2

? 1 1 3 ? 3 =1× ? ? ? ? 2 2 i? ? = - 2 - 2 i. ? ?
例 3 化简复数 ?

2

? 1? i ? ? ? 1? i ?
2009

2009



错解:由 ? (A) .

? 1? i ? ? ? 1? i ?

?? 1 ? i ?4 ? ? ?? ? ? ? ?? 1 ? i ? ? ?

2009 4

? (1 ? i ) 4 ? ?? 4? ? (1 ? i ) ?

2009 4

? (?2i ) 2 ? ?? 2 ? ? (2i ) ?

2009 4

?1

2009 4

? 1 ,选

剖析:在复数集中,仅对 m,n ? N 有 amn ? (am )n .此错解盲目的将实数集中的指数
*

运算的法则直接推广到了复数集. 正解:由于
2009

1? i (1 ? i)2 2i ? ? ?i, 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2

? 1? i ? 则? ? ? 1? i ?

? i 2009 ? i 4?502?1 ? i .
2 2

三、虚系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a、b、c∈C)有实根的充要条件,不再是 b -4ac≥0.

例 4 关于 围。

的方程

有实根,求实数

的范

错解:

程有实根

?? ? (2a ? i)2 ? 4(1 ? ai) ? 4a 2 ? 5 ? 0 得a ? 5 5 或a ? ? 即为所求. 2 2

剖析:判别式

只能用来判定实系数一元二次方

根的虚

实,而该方程式中 件建立方程组求得.

并非实数.此类题应先设出实根,再由复数相等的充要条

正解:设

是其实根,代入原方程变形为

2 x0 ? 2ax0 ? 1 ? (a ? x0 )i ? 0,由复数相等的定义得:

2 ? x0 ? 2ax0 ? 1 ? 0 ? ,解得 a=±1. . ? ? ? x0 ? a ? 0

四、对于实数 a、b 则必有 a>b,a=b,a<b 三者之一成立.若 a、b 是虚数,则不再 有此结论,也就是不能比较大小 例 5 求满足条件-2+a-(b-a)i>-5+(a+2b-6)i 的实数 a,b 的取值范围. 错解:由已知,得 ?

??2 ? a ? ?5 ,解得 a>-3,b<2. ??(b ? a) ? a ? 2b ? 6

剖析:想当然的认为大的复数所对应的实部和虚部都大,忽视了只有实数才能比较大 小的前提.两个复数,如果不全是实数,则不能比较大小.所以遇到复数比较大小问题,可 以确定该复数必定是实数. 正解:由-2+a-(b-a)i>-5+(a+2b-6)i,得 a+3+(-3b+6)i>0, 所以 ?

?a ? 3 ? 0 ,解得 a>-3,b=2. ??3b ? 6 ? 0




友情链接: